Devo adicionar a tag H1 no bloco que é visível apenas em dispositivos móveis?

Não. Use apenas uma tag H1 por página.

Se você estiver fazendo uma cópia de um bloco com parâmetros de visibilidade diferentes, o código do bloco permanecerá na página e ficará visível para os rastreadores dos mecanismos de pesquisa. Por esse motivo, certifique-se de que o segundo bloco não tenha a tag H1.