Devo adicionar a tag H1 no bloco visível apenas em dispositivos móveis?

Não. Use apenas uma tag H1 por página.

Se você estiver fazendo uma cópia de um bloco com parâmetros de visibilidade diferentes, o código do bloco permanece na página e fica visível para os rastreadores dos mecanismos de pesquisa. É por isso que certifique-se de que o segundo bloco não tenha a tag H1.